integral...

Question

<p>integral</p>

Lala L · Answer

Soal a: Menentukan Panjang Busur Kurva
Diketahui:

Kurva: y = 4x - x²
Batas: dari titik (0,0) sampai (1,3)
Rumus Panjang Busur:
Panjang busur kurva y = f(x) dari x = a sampai x = b dapat dihitung dengan rumus:
s = ∫[a, b] √(1 + (f'(x))²) dx

Penyelesaian:

Mencari turunan pertama f'(x):
f'(x) = 4 - 2x

Substitusikan ke rumus panjang busur:
s = ∫[0, 1] √(1 + (4 - 2x)²) dx
s = ∫[0, 1] √(1 + 16 - 16x + 4x²) dx
s = ∫[0, 1] √(4x² - 16x + 17) dx

Jadi, panjang busur kurva y = 4x - x² dari titik (0,0) sampai (1,3) adalah s satuan panjang (nilai s akan tergantung pada hasil perhitungan numerik).

Soal b: Menentukan Pusat Massa Sentroid

Diketahui:
Kurva 1: x = 3 - y²
Kurva 2: y = x - 1
Rumus Pusat Massa Sentroid:
Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva y = f(x) dan y = g(x) dari x = a sampai x = b, koordinat pusat massanya (x̄, ȳ) dapat dihitung dengan rumus:
x̄ = (1/A) ∫[a, b] x[f(x) - g(x)] dx
ȳ = (1/2A) ∫[a, b] (f(x))² - (g(x))² dx
di mana A adalah luas daerah.

Penyelesaian:

Mencari titik potong kedua kurva: Selesaikan sistem persamaan x = 3 - y² dan y = x - 1 untuk mendapatkan titik-titik potongnya.
Menentukan batas integral (a dan b): Batas integral adalah nilai x pada titik-titik potong yang diperoleh pada langkah 1.

Menentukan fungsi atas (f(x)) dan fungsi bawah (g(x)): Tentukan mana kurva yang berada di atas dan mana yang berada di bawah pada interval [a, b].
Hitung luas daerah (A): A = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx
Hitung x̄ dan ȳ: Gunakan rumus pusat massa sentroid yang telah disebutkan di atas.

Nawi A · Answer

2a) Panjang busur

Kurva: dari titik (0,0) ke (1,3).

Rumus panjang busur:
L = ∫[a,b] √(1 + (f'(x))²) dx

Turunan: f'(x) = 4 - 2x

Maka:
L = ∫[0,1] √(1 + (4 - 2x)²) dx
= ∫[0,1] √(4(x - 2)² + 1) dx

Substitusi: u = 2(x - 2), maka du = 2 dx → dx = 1/2 du.
Batas: x = 0 → u = -4, x = 1 → u = -2.

Sehingga:
L = 1/2 ∫[-4,-2] √(u² + 1) du

Integral umum: ∫ √(u² + 1) du = 1/2 ( u√(u²+1) + asinh(u) )

Hasil:
L = 1/4 [ u√(u²+1) + asinh(u) ] dari -4 sampai -2
L = √17 - (√5)/2 + 1/4 (asinh(4) - asinh(2))

Karena asinh(t) = ln(t + √(t²+1)):
L = √17 - (√5)/2 + 1/4 ln( (4+√17)/(2+√5) )

≈ 3,1678

2b) Pusat massa (centroid)

Daerah dibatasi oleh:
x = 3 - y² dan x = y + 1

Titik potong: y + 1 = 3 - y²
→ y² + y - 2 = 0 → (y+2)(y-1)=0 → y = -2 atau y = 1.

Batas: y ∈ [-2,1]

x kiri = y + 1
x kanan = 3 - y²

Luas:
A = ∫[-2,1] [ (3 - y²) - (y+1) ] dy
= ∫[-2,1] (2 - y² - y) dy
= 9/2

Koordinat centroid:

x̄ = (1/A) ∫[-2,1] 1/2 [ (x kanan)² - (x kiri)² ] dy
ȳ = (1/A) ∫[-2,1] y [ (x kanan) - (x kiri) ] dy

Hitung:
∫[-2,1] 1/2 [ (3 - y²)² - (y+1)² ] dy = 63/10
∫[-2,1] y (2 - y² - y) dy = -9/4

Maka:
x̄ = (63/10) / (9/2) = 7/5 = 1,4
ȳ = (-9/4) / (9/2) = -1/2 = -0,5

Jawaban akhir:

a) Panjang busur ≈ 3,1678
b) Centroid = (1,4 ; -0,5)

integral

Mau jawaban yang terverifikasi?

Pertanyaan serupa