x → ∞ lim ​ ( sec x ​ 1 ​ − 1 ) = … (SBMPTN 2017)

Pembahasan

Ingat bahwa sec x = cos x 1 ​ . Akibatnya jika soal disederhanakan diperoleh : lim x → ∞ ​ ( sec x ​ 1 ​ − 1 ) ​ = = ​ lim x → ∞ ​ ( sec x − 2 1 ​ − 1 ) lim x → ∞ ​ ⎝ ⎛ ​ c o s x − 2 1 ​ 1 ​ − 1 ⎠ ⎞ ​ ​ Penyelesaian soal tersebut menggunakan teorema L'Hospital, diperoleh : lim x → ∞ ​ ( sec x ​ 1 ​ − 1 ) ​ = = = ​ lim x → ∞ ​ 2 1 ​ ⎝ ⎛ ​ c o s 2 x − 2 1 ​ x − 2 1 ​ s i n x − 2 1 ​ ​ ⎠ ⎞ ​ 2 1 ​ ⎝ ⎛ ​ l i m x → ∞ ​ c o s 2 x − 2 1 ​ l i m x → ∞ ​ x − 2 1 ​ s i n x − 2 1 ​ ​ ⎠ ⎞ ​ 2 1 ​ ⎝ ⎛ ​ c o s 2 ( l i m x → ∞ ​ x ) − 2 1 ​ l i m x → ∞ ​ x − 2 1 ​ s i n x − 2 1 ​ ​ ⎠ ⎞ ​ ​ Jika x → ∞ lim ​ x = ∞ maka ( x → ∞ lim ​ x ) − 2 1 ​ = 0 sehingga cos ( x → ∞ lim ​ x ) − 2 1 ​ = cos 0 = 1 . Jadi diperoleh : lim x → ∞ ​ ( sec x ​ 1 ​ − 1 ) ​ = ​ 2 1 ​ ( lim x → ∞ ​ x − 2 1 ​ sin x − 2 1 ​ ) ​ Karena solusi belum selesai maka gunakan kembali teorema L'Hospital. lim x → ∞ ​ ( sec x ​ 1 ​ − 1 ) ​ = = = = ​ 2 1 ​ ( lim x → ∞ ​ cos x − 2 1 ​ ) 2 1 ​ ( cos ( lim x → ∞ ​ x ) − 2 1 ​ ) 2 1 ​ ( 1 ) 2 1 ​ ​ Dengan demikian, nilai dari x → ∞ lim ​ ( sec x ​ 1 ​ − 1 ) = 2 1 ​ . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.